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유체역학

last modified: 2016-08-24 22:13:33 Contributors

Contents

1. 개요
2. 역사
3. 원리
4. 외계어
5. 응용


流體力學 / Fluid Mechanics

1. 개요

유체역학이란 유체[2][3]의 역학적 상태를 설명하는 학문이다.

공학도들에게 있어 양자역학과 더불어 넘어야 할 양대산맥 중 하나이다. 전기공학, 재료공학 등 여러 분야에서 사용되는 양자역학처럼, 유체역학은 기계공학, 항공우주공학, 화학공학, 토목공학 등 메이저 공학과에서는 대부분 배워야하는 매우 사악한 중요한 학문이다. 중요한 학문이지만 가르치는 교수도 대학원 수업 정도로 가면 자기 전공이 아닌 분야는 이해 못하는 경우마저 있을 지경이다.[4] 두개 다 배워야 하는 의료공학은 그저 지못미

2. 역사

역사적으로 유체역학의 시초는 뉴턴[5]으로 본다. 물론 아르키메데스의 부력의 원리도 유체역학의 분야에 속하지만, 체계적인 학문으로 발전시킨 것은 뉴턴의 연구가 처음이라고 할 수 있겠다. 이후로 베르누이, 오일러 등의 학자들이 유체역학을 발전시켜 왔으며, 지금도 유체역학 관련 학회에서는 새로운 논문이 수천수만 편이 쏟아져 나오고 있는 현재도 새롭게 발전하고 있는 학문 분야이다.

3. 원리

기본적으로 질량 보존의 법칙, 운동량 보존의 법칙, 에너지 보존의 법칙을 기반으로 하며, 이들 법칙을 수학적으로 나타낸 다음 이를 푸는 식으로 전개해 나간다. 다들 아시다시피 유체는 정해진 모양이 없으므로, 우리가 고등학교 때 배우는 물리로 유체를 풀기는 쉽지 않다. 따라서 모양이 마음대로 변하는 유체를 기존의 물리 법칙으로 풀기 위해서 물체를 보는 '관점' 자체를 바꾸어야 한다. 기존의 역학에서는 좌표축을 잡은 후 물체의 움직임을 따라가는 방식의 관점(Lagrangian View)를 사용하였다면, 유체역학에서는 오일러에 의해 도입된 관찰할 지점은 고정해놓고, 그곳을 지나는 유체에 대해 질량, 운동량, 에너지 보존을 해석하는 Eulerian View를 사용하게 된다. 이 과정에서 밀도, 압력, 검사체적, Velocity Potential 등의 개념을 도입하게 되며, 이로써 수학적으로 풀 수 있는 모델을 만들 수 있게 된다. 유체역학을 배우는 초반부에는 이 두 가지 관점에 대해 주로 배우게 되며, 결과적으로 Reynolds' Transport Theorem에 의해 두 관점이 연결되어 있고 둘 사이를 자유롭게 오갈 수 있음을 알게 된다. 이후는 학부 과정에서는 주로 Eulerian View를 이용하여 기존의 보존 법칙들을 다시 전개하게 된다. 각 보존법칙들은 연속방정식, 구성방정식, 나비에-스톡스 방정식, 열역학 제1법칙 등으로 구체화되어서 나타나게 된다. 나비에-스톡스 방정식이 바로 Eulerian View를 이용하여 운동량 보존의 법칙을 다시 전개한 형태.
그 뒤로는 이러한 방정식을 보다 쉽게 적용할 수 있는 여러 특이 Case들에 대해 공부하게 된다. Pipe와 Channel(간단하게 강이나 운하를 생각하면 된다.), Boundary Layer(면 위를 얇게 흐르는 경우) 등의 상황에 대해 문제를 적용하는 법을 배우며, 여기서 더 나아가면(보통 심화된 과목에서 다룬다.) 압축성 유체나 충격파 등도 다루게 된다. 거의 대부분의 유체역학 관련 문제는 Eulerian View를 통해 풀지만, 다상유동(multiphase flow)처럼 입자와 그 변환 같은 복잡한 개념이 들어가게 되면 Lagrangian View를 같이 사용하여 풀게 된다.이쯤되면 대략 정신이 아득해진다

공학에서는 특정 위치에 가해지는 압력이나 특정 구간에서 유체의 속도의 값을 구하는 문제가 많다. 대부분의 문제는 하중을 견디고 항력을 최소화하고 양력을 최대화하는 것이 중요하니까.

4. 외계어

다른 역학들에 비해서 유체역학은 조금미친듯이 어렵다고 이야기한다. 일반물리 수준에서 배우는 내용인 베르누이 방정식 정도는 그다지 어렵지 않다고 쳐도, 그 동안 다뤄왔던 다른 역학들과 달리 현상을 바라보는 관점 자체를 바꿔야 한다는 첫이 첫 번째 난관이다. 그리고 그 난관을 일단 지나고 나면 나타나는 것은 나비에-스톡스 방정식...
당장 이 방정식을 간결하게 나타내기 위해서, 유체역학을 설명하는 데 유용한 텐서를 공부하게 되는데, 처음 접할 때의 생소함이 상당하다.[6] 또한 유체역학에서 여러 복잡한 문제가 생기는 이유로는 비선형 편미분방정식이자[7] 수학의 7대 난해한 문제에도 속해 있는 나비어-스톡스 방정식은 일반적인 풀이가 알려져 있지 않다. 정 이 방정식을 손으로 풀고 싶다면, 이런저런 가정을 통해 여러 항들을 0으로 만들어 계산을 하게 되는데, 교수란 직업이 어디 만만할까. 대부분의 실용적인 문제는 이 항들이 0이 아닌 다른 값이 끼어들어간 형태의 식이 되며, 비슷한 수준의 항을 풀어내서 구한 값을 연립방정식으로 풀어내야 하기에 오늘도 공학도들은 죽어나가고 있다(...)

따라서 시험이 아닌 실제 연구에서는 수치해석적인 방법으로 방정식을 풀게 되며, 이 때 수치해석의 한계로 실제 존재하는 현상을 모사하지 못 하기 때문에 점성항을 알 수 없게 되는 경우가 많고[8], '난류 모델'이란 것으로 모델링하여 해석한다. 이 때 식의 개수보다 미지수가 많기 때문에, 이런 과정을 방정식을 닫는다고 부른다. 모델링이란 말에서 알 수 있듯이, 이것은 실제 거동을 푸는 것이 아니라 특정 상황을 가정한 흐름에서 난류 현상을 잘 예측할 수 있다는 의미이다. 다시 말하지만 해석적인 해가 없기 때문에 이런 삽질을 하는 것이다...

요즘은 컴퓨터가 대신 계산갈려들어간다하므로[9] 공학도들은 계산 그 자체보다는 더 복잡한 물리 현상을 고려한 모델링에 고민 하고 있다. 예를 들면 유체-고체 역학을 통합하여 공탄성을 풀거나, 이로 인해 생기는 진동을 고려한 음향학을 풀거나, 부피힘으로 중력뿐만이 아닌 전자기력이 고려되는 자기유체역학을 풀거나, 기체의 플라즈마화를 고려한 고에너지/극초음속 유동을 풀거나, 화학반응과 난류의 상호작용을 구하는 연소를 풀거나...죽어나가는 건 여전하다

사실상 물리 공학계열 최종보스로서, 공학도가 만약 다른 공학이나 이과로 전과한다면 십중팔구는 유체역학의 벽에 가로막혀서 그러는 것이다.[10] 다만 학부 과정에서는 텐서를 빡시게 다루지는 않고, 나비에-스톡스 방정식도 유도 과정을 잘 파악하는 수준(이것도 쉽지는 않지만)만 되면 되니까 위에서 언급한 극악한 난이도를 직접 맛볼 일은 생각보단 많지 않다. 대학원 이론과정으로 들어가면 인덱스 표기법을 사용해 텐서를 표기하며, 3, 4차 텐서나 5, 7, 9승 하모닉스[11]까지 올라가면 문제풀다가 손가락이 부러질 것 같은 기분을 느낄 수 있다. 방정식 하나가 10줄을 넘어간다. 그게 끝이 아니라 힘이나 토크를 구하려면 그 거대한 놈을 표면 위에서 적분해야한다. 망했어요

한편 같은 유체역학을 다룬다고 하더라도 기계공학항공우주공학, 토목공학등은 서로 주로 다루는 분야가 약간씩 다르다. 그래서 중간에 전과하거나 학부통합과정이어서 각 학과의 수업을 각각 따로 들어보면 분명 제목은 똑같은 유체역학인데도 서로 전혀 다른 이야기를 하는 경우가 종종 있다. 일례로 기계공학은 관(pipe)내를 흐르는 저속의 공기나 액체 유동을 주로 다루기 때문에 점성이 매우 중요하다. 하지만 항공우주공학은 물체 외부에흐르는 고속이 공기를 주로 다루기 때문에 난류나 점성 같은 것은 초반 설명부분에 잠깐 언급하고나면 교과서 한참 뒤에나 자세한 설명이 등장하며, 교과서 중간부분은 외부유동에 대한 이야기와 그 외부유동의 압축성유체에 대한 이야기만 주구장창 다룬다.[12][13]

5. 응용


앞에서 언급했지만, 유체역학이 좀 더 심화되거나 다른 물리 현상을 함께 푸는 응용 학문들이 있다.

  • 자기유체역학(Magnetohydrodynamics) : 보통의 유체는 전기적으로 중성이지만. 이 유체를 이루는 입자들이 전하를 가진다거나 하는 환경에서 적용가능한 역학이다. 유체역학의 나비에-스톡스 방정식과 전자기학의 맥스웰방정식[14]을 섞어서 만든 학문으로 어려운 방정식들의 퓨전이다. 플라즈마의 움직임을 연구할 때(주로 태양풍 연구) 이 현상을 고려해야 하는데, 실제로는 플라즈마의 경우 매우 밀도가 낮으므로, 연속체로 가정하는 나비에-스톡스 방정식을 그대로 적용하면 잘 맞지 않는다(이 때는 압축성 식을 써야 하는데 압축성은 비선형 항이 두 개나 되는 게 함정(...)) 그 기준점을 제시하는 무차원수 Knudsen 수라는 것이 존재한다. 이런 플라즈마나 인공위성의 저항 계산과 같이 밀도가 매우 희박한 공기 역학 문제의 경우 DSMC라고 하는 기법을 사용한다. DSMC는 츠만 방정식을 통계적으로 해석하기 위한 것으로... 더 이상의 자세한 설명은 생략한다... 철강 업계에서도 자기 유체 역학을 사용한다. 대개 고로에서 막 빠져나온 선철(pig iron)에는 불순물이 많은데, 이를 떠오르게 하기 위해 강한 자기장을 걸어 대류를 촉진시키는 방법이다. 이 경우에는 플라즈마와 달리 나비어-스톡스 방정식으로 풀어도 잘 맞는다. 이것도 미친 짓이야. 난 여기서 빠져나가겠어. 더 이상의 자세한 설명은 생략한다
    하지만 대부분의 공과 대학에서는 잘 안쓰고, 더더욱 학부때는 볼 일이 없다. 그래도 잠깐 뭔지 궁금 하다면 여기를 참조하자.

  • 공기역학(aerodynamics) : 유체의 흐름 속에서 물체가 받는 힘(특히 양력)을 주로 다루는 유체역학이다. 물 속이라도 양력은 존재하지만 부력도 있고, 하늘에서 더 중요하니까...잠수함이 날개를 달고 뜨지는 않는다.[15] 여기에서는 소용돌이나 와류에 대한 이야기를 많이 들어 볼 수 있다. 예를 들어 양력을 받는 날개는 왜 와류를 만드는가, 날개 끝에 수직으로 세운 윙팁은 왜 있는가, 델타윙은 어떨 때 유리한가 등등. 또한, 기체를 다루는 만큼 유체가 압축하고 팽창하는 것도 고려해야 한다. 이 특성이 중요한 이유는 유체의 압축 및 팽창으로 인해 벽면과의 마찰과 무관하게(즉 점성이 없는 유체이더라도) 충격파가 생기는 것만으로도 저항이 발생하기 때문이다. 제일 간단하게 입사각을 가진 평판 또는 다이아몬드형 에어포일의 해를 풀어보면, 비점성-비회전 유동인 경우에도 압축성 유체를 푸는 경우 저항이 발생한다는 해를 얻을 수 있다. 음속을 돌파할 즈음에는 저항이 아음속의 수배 정도로 늘어나고, 점성에 의한 저항은 미미해진다. 따라서 초음속인 경우에는 비점성으로 풀더라도 실험과 잘 맞는 경우도 많다. 이미 1950-60년대에 Panel법등으로 항공기 설계를 해오면서 보정을 하는 식으로(보통 Empirical method라고 부른다) 상당히 오랜 기간 노하우가 누적된 코드가 Boeing, MacDonnel Douglas, Lockheed 등에 의해 개발 및 사용되어 그 정확성을 입증한 바 있다. 대체 얼마나 많은 공돌이가 갈려들어갔을지 알만하다 한편 항공우주공학쪽은 공기역학을 배워도 주로 외부유동에 대해 배우며, 일반적으로 이쪽에서 쓰는 교과서는 난류에 대해서는 초반에 잠깐 언급하고서는 초음속 같은 압축성유체역학 이야기만 주구장창하다가 교과서 말미에 점성과 난류에 대한 이야기가 나오는 경우가 많다. 실제로 난류나 점성이 문제시 되는 것은 주로 특수한 상황-실속이나 유선형이 아닌 복잡한 형상의 유동의 경우이기 때문. 근데 현업에선 그 특수한 상황을 정확히 풀어야만 성능을 만족하거나 안전한 설계를 할 수 있다는 것이 함정

  • 음향학(acostics) : 고체 혹은 유체에서의 파동의 전달에 다루는 분야. 엄밀하게 말하면 완전한 유체역학은 아니지만(유체역학+고체역학+진동학 정도?), 음파가 전달되는 주된 매질 중 하나가 공기나 물 등의 유체이므로 음향학에서도 유체역학을 상당히 신경써야 한다. 음향학에서 가장 기본이 되는 Acoustic Wave Equation을 유도하기 위해서는 매질에 대한 세 가지 보존 법칙(질량, 운동량, 에너지)과 매질에서의 Constitutive Law(보통 밀도와 압력 사이의 관계)가 필요한데, 매칠이 유체일 경우 위의 세 가지 보존 법칙 중 앞의 둘이 유체역학의 연속방정식, 나비에-스톡스 방정식이 된다. 이 외에도 음속에 대한 고려나 음파의 흡수나 감쇠를 고려햘 때에 유체역학이 필요하며, 이 경우에는 파동 에너지를 분자 레벨에서 흡수하는 것까지 고려되어 기체 분자 운동론까지 동원되는 경우가 생긴다. (이로 인해 바닷물에서의 음파의 흡수 현상은 염도에도 영향을 받게 된다.)
    게다가 보통 선형으로 근사하여 사용하는 Wave Equation의 비선형 항을 고려하기 시작하면 유체역학의 중요도는 더 높아진다. 비선형 음향학에서는 음파의 속도가 매질의 음속만이 아닌 주어진 Input의 진동 속도에도 영향을 받으며, 음파가 진행됨에 따라 음파의 Waveform이 찌그러지고 이 찌그러짐에 의해 음파가 일정 거리 이상 진행하면 (유체의 압축을 고려하지 않아도) 위의 공기역학과 비스무리한 충격파가 생기는 것(Shock Formation)을 확인할 수 있다. 이러한 비선형적인 고려를 하기 위해서는 Wave Equation의 유도 과정으로 다시 돌아가 이론을 전개하여 비선형 항을 고려한 Wave Equation을 만들어야 하며(Westvalt Equation, Bugers Equation, KZK Equation), 이 외도 위에 언급한 여러 비선형적 현상들을 고려하기 위해서는 유체역학이 필수적이다. 물론 여기까지 오면 대부분의 문제를 컴퓨터 코드로 풀게 되며, 대표적으로 텍사스 대학에서 만든 KZK Equation 관련 코드가 있다.


biological fluid mechanics, aeroelasticity, combustion, compressible fluid mechanics 등에 대한 설명 추가바람
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  • [1] 사실 유체역학을 공부하다 보면 경험할 수 있을지도 모른다(...)
  • [2] 유체역학 교과서의 정확한 정의는, 물질 내의 Shear Stress가 그 물질의 Strain의 시간변화율의 함수로 나타내어지는 물질이다.
  • [3] 더 쉽게 설명하면 그냥 흐를 수 있는 액체/기체 등의 물질.
  • [4] 예를 들어 압축성 유체역학을 주로 하는 교수는 난류현상에 대해서 잘 모를 수 있다
  • [5] 뉴턴의 업적을 기려서 응력과 변형률의 관계를 간단한 비례식으로 나타낼 수 있는 유체를 뉴턴유체(Newtonian fluid)라고 부른다. 이와 달리 전단력에 의해 지배되는 유체를 비-뉴턴유체(Non-Newtonian fluid)라고 부른다. 흔히 화장품, 연고, 혈액, 페인트 등이 비-뉴턴유체중에서 공정상 많이 다루어진다. 유투브에서 corn starch로 검색하면 이 특성을 이용해서 물 위를 걸어다니는 기적(?)을 볼 수 있다.
  • [6] 수학과: 대칭성이 있어서 쉬운 거잖아?
  • [7] 이 비선형 항 때문에 난류라는 해석하기 어려운 물리현상이 나타난다.
  • [8] 특히 압축성 유체의 경우 점성항도 비선형이 된다...
  • [9] 이조차도 고체역학 문제를 풀 때 유용히 사용되는 FEM을 사용하면 효율이 떨어지거나 정확성이 떨어지기 때문에(FEM은 System을 여러 Element로 나누어 문제를 푸는데, 유체는 그 특성 상 Element 자체가 움직여 버린다...) 유체역학을 위한 새로운 계산 방식을 사용해야 한다!
  • [10] 물론 휴학하고 땜빵하거나 일부러 F를 받은뒤 재수강 하는 방법역시 널리 쓰이나, 4년안에 졸업하기 위해서는 이 방법은 사실상 불가능하다.
  • [11] 2nx = 0 꼴의 방정식. 2승 하모닉스의 예
  • [12] 보통 학부 1,2학년에 듣는 항공우주공학 개론 같은 과목에서 난류나 그로 인한 경계층, 혹은 점성이나 그 점성에 의한 코안다 효과 같은 것을 말 그대로 개론적인 차원에서 배우긴 한다. 그냥 '이런 현상이 있다.' 수준이며 수학적 모델링에 대한 설명은 안 배운다...
  • [13] 항공우주공학과는 학부과정에서는 점성에 대한 내용을 집중적으로 다루지 않다보니 3, 4학년때 점성관련 공기역학 수업을 듣지 않으면, 항공우주공학과 출신임에도 학부4년 동안 나비어 스톡스 수식 자체는 제대로 볼일이 없는 경우도 있다.
  • [14] 이것도 나름 지옥이다.
  • [15] 예를 들어 펌프의 경우에는 물 속의 에어포일을 다루므로 공기역학적 지식이 필요하다