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원주율

last modified: 2019-02-06 01:23:34 Contributors

Contents

1. 개요
2. 상세
3. 원주율의 역사
4. 수많은 용법과 대중문화에 끼친 영향
5. 1만 자리까지의 원주율/값

1. 개요

圓周率
원의 지름에 대한 원주(원둘레)의 비. 문자로 π, pi라고 사용한다.

그리스 문자 π로 표시하는데 그리스어로 둘레를 뜻하는 "περιμετρος(perimetros)"의 앞자리 π에서 가져왔다고 한다.파이가 원 모양이어서가 아니다 최초로 원주율을 π로 표기한 사람은 레온하르트 오일러라고 한다.

원주율은 순환하지 않는 무한소수(무리수)이자 초월수이다. 원주율이 무리수라는 것은 고등학교 수준으로도 충분히 이해 가능한 증명이 있다. 파인만 포인트 등에서 착각할 순 있지만...

2. 상세

수학 교육과정에서 가장 먼저 만나게 되는 무리수이다. 보통 초등학교에서는 5~6학년때부터 근사값으로 3.14를 사용하며, 중학교나 고등학교 올라가면 저런거 없이 그냥 π를 붙이는 것으로 계산 끝. 참고로 공대 등에서는 3.14159까지 소수점 다섯째까지 사용하는 것이 일반적이고, 좀 가볍게 외우면 3.141592까지 외운다. 이건 1592년이란 숫자 자체가 임진왜란으로 외우기 쉽다는 것에 기인한다는 말이 있다. (원래 알고 있던 3.14 + 임진왜란의 발발 년도 1592 = 3.141592) 참고로 1415년에도 그 유명한 백년전쟁아쟁쿠르 전투가 있어 파이는 피비린내 나는 전쟁으로 시작한다.란 드립이 나오게 되었다.

실제 계산에서는 소수점 이하 10자리 이상 쓰는 경우는 그다지 없다. NASA가 달착륙에 관련된 계산을 할때도 5자리정도.. 디지털 시스템에서 무리수를 사용할 방법이 없기 때문이다. 이게 가능하려면 해당 시스템이 무한한 정밀도를 표현할 수 있어야 한다.

소수점 수십 자리, 심지어 수백 자리까지 외우고 다니는 사람이 가끔 있다. 파인만 포인트는 애시당초 리처드 파인만이 자기는 거기(=762자리...)까지 외운다면서 나온 수고, 사람의 잉여짓에는 끝이 없는지라 현재까지 인정된 기네스 공식 세계 기록은 중국인 차오 루의 67890자리. 일본인 하라구치 아키라의 기록으로는 83431자리까지 외웠다고 하는데 이건 공식적으로 인정된 기록은 아니다.

3월 14일의 진정한 의미라고 할 수 있겠다. 이 파이의 날을 기념해 진짜 파이를 먹는 사람들도 있다. 그리고는 자신의 생일을 찾기도 한다 카더라. 생일 3월 14일인 사람들 지못미. 그런데 소수점 위의 숫자는 포함하지 않는다는 규칙이 있다면 어떨까? 그럼 1월 4일 지못미 매사추세츠 공대(MIT)의 경우는 이 파이의 의미를 기려서 매년 합격자 발표일이 3월 14일. 그것도 15시 9분이다. 3. 14. 15 : 9.9분2초로 하지 왜?

공대에서는 삼각함수와 엮어서 매우 다양하게 사용한다. 특히 전자나 통신 계열에서는 한 학기의 절반은 파이와 함께 보낸다. 그리고 대부분의 시간을 e와 함께 보낸다.

원주율 π와 자연상수 e와 복소수 i간에는 eiπ +1= 0 이 성립한다. 이를 오일러의 등식이라고 하며, 수학의 아름다움을 극명하게 나타내 주는 식으로 유명하다. 해당 항목 참고. 문과 입장에선 저게 도대체 뭐가 아름다운지 몰라도 상관없다.

이곳에서 특정 문자열이 원주율의 몇번째 자리에서 등장하는지 검색할 수 있다. 2억 번째 자리까지 지원하므로, 파인만 포인트 찾으려고 999999 입력하는 것 정도는 순식간에 처리한다.

3. 원주율의 역사

많은 곳에서 원을 '완전성'의 상징으로 이해하기 때문에, 지름과 원주의 관계에서 파생되는 이 불규칙한 숫자는 역설적으로 신비로움의 대상이 된다. 이와 관련하여 '어째서 원의 길이가 지름의 3.1415926535...배가 되는가'를 설명할 수 있다면 우주의 진리를 알 수 있다는 도시전설도 있다카더라. 아마도 π를 처음 배우는 학생들로부터 자주 듣는 질문이라 그런듯.(어찌보면 결국 우주가 왜 이렇게 생겨먹었냐를 설명하라는 뜻이다...).

최초의 원주율은 이집트바빌로니아에서 구한 것으로 여겨진다. 초기엔 아메스가 256/81(3.160493)을 사용했고 이것은 4/3의 4승이다. 직접 바퀴를 굴려서 구한 것으로 여겨진다. 바빌로니아는 3/(57/60+36/60^2), 즉 3.125였으나 이후에 나온 값은 3과 1/7과 3과 1/8의 사이 값이었다. 즉, 3.125 < 파이< 3.142857143. 4세기의 인도는 3.1416(3과 177/1250)을 썼고, 이후 7세기 들어서부터는 루트 10, 즉 3.162277을 혼용해 사용했다. 이것은 후한시대 이후 중국의 값이기도 했는데, 도리어 루트 10이라는 더 실제와 떨어진 값이 애용된건 (루트 965)/10(=루트 9.65), 루트 9.81, 루트 9.86, 루트 9.87(=3.14165561)...라는 값이 나오자 근사로 "혹시 저 제곱근의 정확한 값은 루트 10이 아닐까?라는 지나친 비약으로 나아간 것이었다. 오히려 딴 동네에서 안쓰던 '0'과 10진법을 사용하던 "똑똑한" 중국, 인도인이었기에 벌어진 촌극이었다고할수있다. 실제로 원주율은 루트 9.869604.. 정도에서 수렴된다.

서양에서만 이걸 계산한 걸로 생각하기 쉬우나, 도리어 서양은 시라쿠사아르키메데스가 96각형을 활용해 3 10/71과 3 1/7의 사이이며, 대강"3.14163(211875/67441)보다 조금 큰 값"까지 근접하는 상당히 높은 수준에 다다른 이후로 퇴보하여 로마와 중세 내내 '약 3'으로서 원주율을 활용했다.. 이런 이유로 원주율을 '아르키메데스의 상수'라고 부르기도 했다. 이와 같은 '약 3'은 미국과 일본 등 여러 나라에서 기초교육에서 가르치는 원주율로 쓰고 있다. 하지만 정확한 계산을 요구하는 곳에서는 절대로 쓸 수 없다. 이렇게 쓰면 원에 내접하는 육각형과 원둘레의 차이가 사실상 없어진다.

미국 남부의 보수적인 일부 근본주의 꼴통 신자들은 '약 3'이상으로 원주율을 아는 것을 불경으로 여긴다는 골때리는 이야기도 있는데, 근거는 성경의 구절에서도 솔로몬성전을 설명할 때 원주율을 3으로 여기고 서술하는 부분(대양의 바다..)이 있기 때문이다. 그렇게 2500년 전 수준에 머물렀습니다 물론 세월이 흐르면서 나름 유대교 등에서도 원전에 히브리어로 3.14를 상징하는 문자 암호를 쑤셔넣었다는 해석도 있고(line이라는 뜻의 단어의 표기가 조금 다른데, 문자 숫자로 해석하면 이것이 3.14가 된다고 한다.), 어떻게든 유대인들의 지적수준이 그 정도로 허접하지 않았다는 걸 증명하기 위해 성경의 그 구절이 원주율이 "3"이 아니라는 여러 해석을 만드려고 고군분투했던 중세 때의 신학자 겸 수학자들도 많았다. 선배 신자들보다도 못미치는 근본주의자들의 이해력

심지어 지금까지의 원주율은 과학자들이 모두 속인 것이며, 원주율은 유리수라는 주장도 이따금 유사역사학처럼 알만한 사람들을 즐겁게 해주고 있다. 그 값도 나름 다양해서 20612/6561 = 3.14159427 라는 실용적 수치에선 썩 그럴싸한 값에서, 3.16이라는 3천년 전 수준의 헛소리도 있다. 니가 직접 재 봐도 그렇겐 안 나온단다 이 바보야

도리어 중국에서도 후한시대 수학자인 장형이 3.1623을 제시한 이래, 삼국시대 위나라 때 유휘(劉徽)가 "약 3.14"라는 비교적 근접한 값을 무한등비급수를 사용한 방법으로 제시했다. 유희(?~263~?)는 해도산경을 쓰고 구장산술에 주석을 달았다(구장산술주). 그리고 흔히 대부분의 책이 그렇듯 구장산술은 유휘 주석본(휘주)이 정본으로 전해지고 있다. 이 책이 진나라때 비롯되어 전한때 쓰여졌다는 것을 알게 된 것도 유휘의 글 때문이다. 이후 의 이순풍이 좀더 주석을 달았다.



Google 메인에 오른 조충지의 위엄. 그의 생일(1580주년)을 기리기 위해서 2009년 4월 20일에 올라왔다. #


무엇보다 5세기에 나라의 태사령 조충지(祖沖之, 429~500)와 아들 조훤지(祖暅之)는 3.141592(6)이라는 보다 정확한 값으로 계산하였다. 이는 16세기까지 가장 정확한 원주율이었다. 중국의 영향을 강하게 받은 한국도 이미 삼국시대부터 휘율(유휘가 구한 3.14)과 조중지의 밀률의 근사값인 3과 1/7(약 3.14285714)를 활용했으며, 비슷하게 에도 시대 일본의 원주율도 자체적으로 상당한 수준에 다다랐다. 사실 이정도면 실용적 계산, 즉 산학에서는 충분히 유용한 수준이다. 더 복잡한 파이의 실제값은 계산기가 없는 상황에선 더 불리하다는 점을 상기해보자. 3과 1/7(=22/7)이란 수는 지금도 현대적 계산식과 아라비아 숫자 없이 쓰기엔 충분히 편리한 감이 있다.

이보다 더 정확한 값을 20진법과 자릿수의 사용, 그리고 고도의 수학, 천문학을 발전시킨 마야인들이 발견하지 않았을까?.. 하는 설도 있으나 추측일 뿐이다. 여하간 이로서 중국은 유휘와 조충지 시기에 루트 10의 삽질에서 벗어나 아르키메데스를 앞질렀다. 아쉽게도 조충지가 쓴 원주율에 대한 책인 철술(綴術)은 전하지 않는다.

유럽은 메티우스가 355 : 113(3.14159292)이라는 비율을 16세기에 제시한 이후에야 동양을 앞지르기 시작했다. 독일에서는 1600년대 루돌프 판 체울렌이 소수점 이하 35자리까지 원주율을 계산한 이후 '루돌프 수'라고 부르기도 한다.

이런 연유로 여러 수학자들은 π 값을 더 많은 자리까지 구하기 위해 자신의 시간, 심지어 일생까지 바치기도 했는데, 윌리엄 샹크스(Willian Shanks)라는 19세기 영국 수학자는 소수점 이하 707자리까지 15년간 손으로 계산하였다. 근데 20세기 들어와서 1944년 전자식이 아닌 기계식 계산기로 한 계산에서 이중 527자리부터는 틀렸다는 사실이 순식간에 밝혀졌다. 샹크스가 쓴 동일한 알고리즘을 C로 짜서 계산하면 현재 쓰이는 평범한 노트북 컴퓨터에서도 0.5초도 안걸린다. 지못미. 그리고 여기서 같은 알고리즘을 사용한다는 조건이 없다면 고인능욕의 끝을 볼 수 있는데, 당장 밑에 언급되는 슈퍼파이를 이용하면 슈퍼컴퓨터도 아니고 그냥 평범한 PC로 100만 번째 자리까지 계산하는데 보통 10 ~ 20초대를 끊는다. (달리 말하면 1000자리는 0.01~0.02초이다.) 덧붙여 슈퍼파이라는 프로그램은 워낙 오래된 프로그램이라 멀티코어를 지원하지 않는다! 코어2듀오의 반쪽에 일생의 업적이 유린당한 샹크스 한번 더 지못미

그래도 이 시기 수학자들의 잉여짓노력이 헛짓만은 아니었던 게, 이런 연구들을 기초로 후세에 컴퓨터가 있다면 손쉽게 구할 수 있는 여러 유도식을 발견하기도 하였다. 예를 들면 이렇게 근사하게 파이가 표현된다.


슈퍼컴퓨터의 성능을 측정하는 기준 중 하나가 π 값을 주어진 시간 내에 얼마나 많은 자리까지 구할 수 있냐는 것. 지금은 슈퍼파이라는 이름의 프로그램이 나와 원주율 계산에 걸리는 시간을 통해 보통 개인용 PC의 CPU 연산 테스트 용으로 쓰인다. 939소켓이 한장 잘나가던 시절에는 AMD의 CPU가 가장 빠르게 연산을 했었지만, 콘로의 등장이후로 2010년 현재까지는 인텔 CPU가 1위. 관련 에피소드로는 AMD CPU의 슈퍼파이 연산이 빠르던 시절에는 인텔팬들이 슈퍼파이 연산 따위 실성능과 상관없다고 얘기했고, 인텔 CPU의 슈퍼파이 연산이 빨라지자 이번엔 AMD팬들이 그건 실성능하고 관계없다고 얘기했다나 뭐라나...

개인으로 세운 기록으론 2010년 8월 3일까지 일본의 한 회사원이 소수점 이하 5조 자리까지 계산한 것이 최고였다.(90일 7시간 소요, 검증 기간 포함 / PC 사용)그리고 다음해 10월 10조 자리까지 계산, 자신이 세운 기록을 갈아치웠다. 계산한 수를 저장하는데만 해도 최소[1] 1.25TB 이 아저씨는 이쪽에 취미가 있어보이는지 ln(10), ln(2), e, 루트2를 계산한 최고기록도 이 아저씨다. 90일동안 원주율을 계산하고 있을 땐 PC가 설치된 방의 온도가 40도 까지 올라가 빨래가 바로 마를 지경이었다고. 대신 전기세 폭탄☆, 수학 덕질이 위험한 증거#

라디안과의 연계를 생각하여 파이가 아닌 2파이, 즉 τ(약 6.28)를 쓰자고 주장하는 사람들도 있다. 전세계 교과서를 다 고치겠다는 패기 # 이들은 기념일도 3월 14일의 2배인 6월 28일이다. 한달이 28일을 넘어서 망정이지 이들의 계산에 따르면 원주의 길이는 τr, 원의 넓이는 1/2 τr2 , 구의 겉면적은 2τr2 , 구의 부피는 2/3τr3 이 된다. 뭔가 공대생에겐 외우긴 쉬워지고 초중등생에겐 배우긴 어려워진 기분이 든다 그런데 타우는 보통 응력의 기호로 사용하기 때문에 혼동의 여지가 있다는 것이 함정.

4. 수많은 용법과 대중문화에 끼친 영향

몇 가지 외우는 방법이 나와 있지만, 원주율을 소수점 아래 열네자리까지 암기할 수 있는 다음 영어 문장이 가장 유명. 각 단어의 철자 수에 주목.

How I want a drink, alcoholic of course after the heavy lectures involving quantum mechanics!
(양자역학을 포함한 어려운 강의 후에는 얼마나 한 잔이 하고 싶은지!)

철자 수를 배열해보면 3.14159265358979가 된다. Q.E.D. 증명종료에서도 등장한 방법.

이 외에도 오르(A. C. Or)라는 사람이 만든 시도 있다.

Now I, even I, would celebrate
In rhymes unapt, the great
Immortal Syracusan, rivaled nevermore,
Who in his wondrous lore,
Passed on before,
Left men his guidance
How to circles mensurate...

심지어 나같은 이라도, 서툰 운율로라도,
더 이상 견줄 사람 없을
영원불멸의 시라쿠사인을 찬양하리다.
우리에게 전승되었던
훌륭한 이야기 속에
사람들에게 방법을 남겨 주었지
어떻게 측정을 원[2]하는지를...

이 역시 철자 수를 환산하면 3.141592653589793238462643383279(30자리)이 된다.

일본 가수 KOKIA의 노래인 Clap your hands!에서는 가사 중간에 소수점 아래 100자리까지 나온다. 즉. 이 노래의 가사를 완벽하게 외우려면 파이를 소수점 아래 100자리까지 외워야 한다는 소리. 그것도 일본어로(…). 일본어 원어민도 못하겠네 100자릿수 외우는것보다 0부터 9까지 읽는법을 외우는게 빠를텐데? 비슷한 노래로 테니스의 왕자에 나오는 이누이 사다하루의 캐릭터송 중 π가 있다.

과학쟁이라는 과학 잡지는 이러한 문장을 만들었다.
"돌고래가 모직 남방 만들며 아침 산책 도는 동안 럭비나 봐라."
이건 글자의 초성을 숫자로 바꾼다. ㄱ=1,ㄴ=2...... 이렇게.

...근데 요즘 VOCALOID도 원주율을 외우나보다. 시간날때 들어보자. 묘한 중독성이 있고 인공목소리란 점에도 부합한다



디트로이트 메탈 시티음수전이라는 노래에선 슴가는 원주율과 같다고한다. 이런 사상을 갖고 있는 주인공이 나오는 만화도 있다.

척 노리스는 원주율의 마지막 숫자를 알고 있다고 한다.

PIE를 거울에 비춰보면 3.14와 비슷한 형태가 된다고 한다.참고

모 탐정은 원주율을 3으로 친다고 한다.(...)

5. 1만 자리까지의 원주율/값

항목 참고.
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  • [1] 10조 자리의 수열을 정수로 취급하여 이진수로 변환하였을 경우. 현실적으로는 불가능하다
  • [2] 원문의 마지막 줄은 'How to mensurate circles(어떻게 원을 측정하는지를)이 되어야 맞다.