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미분

last modified: 2015-03-12 14:56:03 Contributors

Contents

1. 수학의 미분
1.1. 개요
1.2. 표기
1.3. 상세
1.4. 참조 항목
2. 미사일 분대


1.1. 개요

微分[1] / Differentiation

수학에서 어떤 양이 변화하는 속도를 나타낸다. 함수를 그래프로 그리면, '변화율'이 된다. 따라서, "어떤 함수를 정의역의 한 점에서 미분한다"는 것은 그 점에서 함수와 "가장 가까운" 선형 사상(쉬운 말로 접선, 치역에 따라서는 접평면)을 찾는다는 말이다. 예를 들어 구면에서 도넛 표면으로 가는 함수의 미분계수(선형사상)의 정의역과 치역은...? 이를 위해서는 한 점에서 공간에 가장 가까운 평면(실벡터공간)인 접평면(tangent space)의 개념이 필요하다.

엄밀한 수학적 정의는 '변하는 정도'라는 수가 아니라 주어진 함수를 다른 함수로 바꾸는 극한
$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
로 정의된 일종의 선형 변환(Linear Transform)
이다. 그렇기 때문에 d(a*f+g)/dt=a*df/dt+dg/dt의 관계가 성립하는 것. 보통 미적분을 학교에서 다룰때 그림으로 보여주기 쉬운 1차원~>1차원 경우를 다루기 때문에 수라고 생각하기 쉽다. (1x1 행렬을 떠올려보자.)

1.2. 표기

$ f(x + \Delta x) - f(x) = m((x + \Delta x) - x), \qquad \Delta y = m \Delta x $ [2]

위 식에서 m을 유도함수 또는 도함수(Derivative)라고 부르며, 보통 다음과 같이 표기된다.

$ \displaystyle \frac{dy}{dx}\quad $ 또는 $ \displaystyle \quad f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $

표기법의 창시자를 따라 왼쪽은 이프니츠 식, 오른쪽은 라그랑주 식이라고 한다. 뉴턴은 종속변수 위에 미분하는 횟수만큼 점을 찍어서 표기했다. 일변수 식의 경우에는 라그랑주 식, 혹은 뉴턴 식(이건 특히 물리학에서 시간에 따른 미분을 표기하는 데에)도 많이 사용하지만 다변수로 넘어가면 어쩔 수 없이 라이프니츠의 방식을 자주 사용한다. 라이프니츠 식이 훨씬 더 직관적이기 때문에 빠르게 계산할 수 있고 덜 헷갈리기 때문이다.[3]

영국 수학계는 라이프니츠 식이 나온 이후에도 뉴턴 식을 고집하다가 결국 유럽 대륙에 비해 수학의 발전이 약 100~200년 정도 뒤쳐지게 된다. 은근히 안습.

흔히 오해하는 것이 뉴턴과 라이프니츠가 완전히 최초라고 생각하는데 이미 미분과 비슷한 개념은 페르마가 좌표평면 비슷한 것을 만들면서 접선을 구할때 비슷한걸 생각해냈다.[4][5] 미분을 도입할때 곡선 상의 두 점에 대해 두 점을 잇는 직선인 할선을 생각한 후에, 한 점을 다른 한점에 극한으로 보내는 방식이 페르마가 생각했던 접선을 정의하는 방식이다.

1.3. 상세

미분을 하면 모든 상수식은 0이 된다. 적분할 때 적분상수 C가 붙는 이유 되시겠다. 특정 변수[6]가 포함된 식이 아닌 모든 식을 상수식으로 치는데, 덕분에 e x 를 y에 대해서 편미분하면 0으로 만들어버릴 수 있다.

$ f(x)=x^r $ 일 때 $ f'(x)=r x ^{r-1} $ (r은 실수)이 성립한다. 예를 들어 $ x ^2 $ 의 도함수는 $ 2x $ 이고 $ x^{ 1 \over 2 } $ 의 도함수는 $ { 1 \over 2 } x ^{-{ 1 \over 2 }} $ 이다.

무언가 미분해야할 식이 복잡하다면 체인 룰(Chain Rule, 번역하면 연쇄 법칙)이라는 것을 써먹으면 매우 좋다. 예를 들어 $ y = \sin ^2 x $ 를 x에 대해서 미분할때 $ t = \sin x $ 를 정의하면 $ y = t ^2 $ 가 되고, $ { dt \over dx } = \cos x $ 가 되므로 이를 이용해 $ { dy \over dt } { dt \over dx }=2 \sin x \cos x $ 로 미분하는 것이다. (맞물려 돌아가는 톱니바퀴를 생각해보면 변화율을 곱하는 것은 지극히 당연하다)

물리 공부할 때에는 적분과 더불어 사실상 필수이다. 물론 고등학생 수준에서는 최저값/최고값 찾기에나 쓰지만, 배워 놓으면 꽤 편리할 뿐만 아니라 물리 개념 이해에 도움을 주기 때문에 배워놓는 것을 권장한다. [7] 문과에서도 상경계열 학생들은 필수다. 경제학에서 모형분석시 자주 사용하기 때문에 못하면 매우 피곤하다. 공학에서도 공학수학의 기초 중 하나이기 때문에 필수다. 사실상 수식을 사용하는 거의 모든 고등 학문에서는 필수로 들어간다고 보면 된다.

사실 적분에 비해서는 계산이 훨씬 쉬운 편이다. 곱의 형태나 분수 형태로 된 함수도 공식만 잘 적용하면 쉽게 계산이 가능한데다(참고로 곱이나 분수 형태의 함수를 적분하기 위한 일반적인 해법은 없다[8]) 위에 설명한 chain rule의 존재로 인해 아무리 지수가 높아진 함수라도 계산이 복잡해질뿐 도함수를 아예 못 구하는 경우는 많지 않기 때문이다. $ y=x ^x $ 처럼 겉보기에는 절대로 도함수를 못 구할 것처럼 보이는 함수도 양쪽에 로그를 취하고 chain rule을 사용하면 도함수를 구할 수 있다. 단, 지수, 로그, 삼각함수 같은 특수 함수의 도함수는 매번 극한을 써서 유도해내어 쓸 수 없으니 시험 잘 보려면 닥치고 외워야 한다(...)

2. 미사일 분대

커맨드 앤 컨커 3 타이베리움 워에 나오는 GDI미사일 분대. 사일 대라서 줄임말로 이렇게 부른다(...).

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  • [1] 미세하게 나눈다는 뜻이다. Differentiation을 한자로 번역한 일본식 한자어라 고등학생들에게는 이해하기 어려울 수 있다. 대충 어떤 선에서 한 지점을 정해 놓고 그 지점을 극도로 확대시켜 나간다-미세하게 쪼개간다-라는 식으로 이해하면 된다.
  • [2] y = f(x)인 함수의 그래프에서 특정 포인트인 x 에 대한 접선 (Tangent Line)을 구하는 공식.
  • [3] 라이프니츠 식의 대표적 형태인 'dy/dx'를 흔히 '디엑스 분의 디와이'라고 읽는 경우가 많은데, '디와이 디엑스'로 읽어야 맞는다. 분수 형태로 읽지 않는만큼 분수처럼 변수를 함부로 지우면 큰일나지만, 연쇄법칙이나 다른 여러 공식들을 보면 그냥 분수처럼 dy, dx를 변수처럼 생각해도 문제가 없을 때도 많다. 그리고 이렇게 변수로 생각하는 게 미분연산자법이다. 미분 형식(differential form)의 개념을 배우면, 위 footnote와 같이 dx를 정말 변수처럼 이해할 수 있음을 알게 된다.
  • [4] 그러나 페르마의 업적이 알려지지 않았던건 페르마는 애초부터 '취미'로 연구했던 것이고 페르마 스스로도 그렇게 좋아하진 않았던듯 하다.
  • [5] 좌표평면은 데카르트와 독자적으로 연구해서 '대수기하학'의 시초기도 하다.
  • [6] 라이프니츠식에서 분모 부분에 명시한 변수
  • [7] 사실 대학별 논술시험에서는 막 나온다.
  • [8] 곱의 형태로 된 함수를 적분하기 위해 부분적분이란 기법이 등장하긴 했지만 (부분적분의 기법 자체는 f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) 의 양변을 적분해본 일반화된 공식에서 등장한다) 이 방법을 써도 풀리기는커녕 오히려 더 복잡해지는 함수가 훨씬 많다. 또 치환적분이란 테크닉이 있기도 하지만 치환적분은 이걸 이렇게 치환하면 계산이 편해지는구나~ 라고 이미 알고 있는 함수를 적분하기 위해서 쓰는 방법이다.
  • [9] 벡터에서의 미분이다.
  • [10] 왜인지는 항목 참조