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대학수학능력시험/수학

last modified: 2015-04-13 01:22:22 Contributors

대한민국 고등학교 수학 교과서(~2014년)
수능간접연계과목고등수학
수능직접연계과목
A형B형
수학Ⅰ
미적분과 통계 기본수학Ⅱ기하와 벡터적분과 통계

Contents

1. 개요
2. 역사
3. 출제 유형
3.1. 난이도 차이
3.1.1. 1~3 등급 비율
3.2. 수학 A형(舊 수리 나형)
3.3. 수학 B형(舊 수리 가형)
3.3.1. 역대 1등급 컷
4. 학습 방법
4.1. 수학 I
4.2. 미적분과 통계 기본 / 적분과 통계
4.3. 수학 II
4.4. 기하와 벡터
4.5. 교과서의 중요성
4.6. 고등수학
4.7. 합답형 문제 찍기 비법
4.8. 주관식 찍기 비법
4.9. 비범한 찍기 사례
5. 강사들의 스펙트럼


1. 개요

대학수학능력시험 2교시(10:30~12:10) 응시 영역.[1]

수학 문제를 통해 논리력과 사고력을 측정하는 대학수학능력시험 및 그것의 모의고사 영역이다.

문과 학생들이 주로 치는 수학 A형[2]이과 학생들이 주로 치는 수학 B형[3]이 있으며 서로 4문제[4] 정도씩을 공유한다.

수학 영역은 영어 영역과 달리 세계적으로 봐도 꽤 어렵다. 다만 범위 자체는 넓은 편이라고 보기는 어려운데, 많은 선진국의 고등학교 이과수학의 범위가 우리나라 수준이거나 넓다.호주 이과수학[5] 프랑스[6] 독일[7] 영국 시험지1 시험지2[8] 한국과 실질 난이도에서 차이를 보이는 이유는 깊이의 차도 많이 크지만, 커트라인의 역할이 결정적이다. 대부분 선진국들은 절대평가에 등급제까지 시행중이라 목표가 최고등급 획득이라면 많이 수월 할 수 밖에 없다. 중국은 고등학교 이과수학에서 미적분을 아예 다루지 않고 있는데[9] 대학교 입학을 위한 수학 점수를 획득하기 위한 난이도는 안드로메다급인 것과 비슷한 이치. 홍콩정규 고등학교 이과수학이었던 응용과 순수수학이 2013년을 마지막으로 폐지되어[10] 사실상 고소득군 국가군 중에서는 수학 A형의 난이도가 최고수준이 되었다.

21문제가 객관식이며 나머지 9문제는 주관식이다. 7차 개정교육과정(2012수능)부터는 객관식 21문제(1번~21번)가 먼저 나온 이후에 주관식 9문제(22번~30번)가 나온다.[11]

대다수의 문과 학생들이 가장 어려워하는 시험이며 내신수학은 잘 푸는데 수능수리는 포기하는 문과생들이 많다. 물론 내신이건 수능이건 수학은 일단 포기하고 보는 부류는 더 많아서 그만큼 문과에서 수학을 잘 하면 상당한 메리트가 있다.

이과에게는 더더욱 중요하다. 수학이 전체 공부 시간의 50%다. 또 대부분 이과생도 이 과목을 가장 중요하게 생각한다. 대개 대학에서 가중치를 주기 때문. 이과에게 이 과목은 최종보스인 셈. 진짜 그들에겐 수학보다 중요한 과목 따윈 없다.

수리영역 시절부터 전통적으로 이 과목은 다른 과목에 비해 표준점수가 높게 뜨는 경향이 있다. 수포자가 많은 현실 때문에 상위권과 하위권의 차이가 크기 때문이다.

배점의 경우 2점, 3점, 4점으로 나누어져 있는데 보통 첫 세 문제를 가장 쉬운 2점짜리 문제들로 배치해놓고(수포자를 위한 배려?) 나머지 3점과 4점짜리 문제도 순서대로 놓는다.[12][13]

2점문항은 각 단원의 기초개념을 묻는 문제들이 주로 출제되며 3점문항은 개념들을 적용하는 문제들이 4점문항은 여러가지 그림을 제시하여 그에 따른 활용을 하는 문제가 출제된다.

3. 출제 유형

3.1. 난이도 차이

B형이 양도 많고 어렵다. 예로부터 '가'형은 상대적으로 수학을 잘 하는 이과생들이 응시해왔기 때문에 표준점수를 맞추기 위해 난이도를 꽤 높게 출제한다. 반대로 'A'형은 쉽게 내는 편이다. 수학을 뛰어나게 잘 하는 이과생에게는 국어가 더 어렵다고도 하나 대부분 이과생은 B형을 가장 어려워한다.

이 난이도 차이 때문에 문이과 싸움이 붙기도 한다.

예로부터 이과생들은 수리 나형 2등급=수리 가형 4등급, 수리 나형 1등급컷=수리 가형 3등급설을 밀고 있다. 그냥 말하는 게 아니고 인터넷에 실제로 "나 수리 가형 3등급 나오는데 나형으로 갈아타니까 1등급 나오더라(아니면 가형 4등급이었는데 나형 2등급 나왔다)" 는 경험담이 올라왔다. 하지만 종종 월례고사에서 수리 가형과 비슷한 난이도의 수리 나형이 출제되기도...

반대로 문과생들은 유형을 막론하고 최상위권은 잘한다는 설을 밀고 있다. B형이 약간 어려운 점은 인정하지만 문과 최상위권은 정말로 신급의 인물들이기 때문에 최상위권으로 가면 문과와 이과가 의미가 없다는 것이다. 자연계에서 인서울 의대(0.3%) 정도 성적을 맞으면 서울대 문과 최상위권 학과(0.1%)에 교차지원이 가능한데 이를 이과에 대한 지나친 가산점 부여로 바라보는 것도 이때문이다.어차피 가산점 더 줘도 의대면 교차지원 안 하겠지만. 내가 했다 임마. 찾아보면 하는사람 종종 있다.


한 올드비 유저에 따르면 특정 해 2학년 교육청 3월 모의고사의 등급컷을 분석한 결과를 통해 볼 때 나형 1컷=가형 3등급, 나형 2컷=가형 4등급임을 실제로 확인할 수 있다. 나형 98%조차 2등급에 해당한다. 이 결과는 똑같은 시험지를 각각 문/이과 학생들에게 풀린 결과 얻어진 것이다. 이과 수학의 위엄을 확인하는 데 이 이상의 실험은 필요없을 듯 하다.


2009학년도 수능에서 각 영역 3등급 이내에 든 학생들의 비율을 비교한 표가 있다. 이를 통해서도 가형의 위엄을 확인할 수 있다. 왼쪽은 가형, 오른쪽은 나형인데 나형 4등급 이하가 5-10%에 불과한 명문고에서도 가형 4등급 이하가 25-30%에 달한다는 조사 결과이다. 재미삼아 쳤기 때문에 가형 등급이 나쁘다는 반론은 불가능하다. 저기 나온 학교들은 전부 과목별 전국 10위 이내다. 저기 올라온 공주시부산진구의 모 일반계 고등학교들의 이름을 공개 안 하는 게 수상하다

3.1.1. 1~3 등급 비율


학교 가형 나형
민족사관고 83 93
공주한일고 75 95
전주상산고 73 90
안양외고 72 93
한영외고 71 93
명덕외고 70 93

  • 물론 이런 결과가 수리 나형의 교육청 학력평가 컷이 평가원에서 출제한 시험에 비해 상당히 시궁창이기 때문인 점도 있다. 실제 수능은 다를 수 있다는 이야기. 물론 그걸 감안하더라도 쉽다는 것은 부정할 수 없다(...)

3.2. 수학 A형(舊 수리 나형)

2007 개정 교육과정 기준 수학 Ⅰ, 미적분과 통계 기본에서 1:1의 비율로 30문제를 낸다.[14]

고등수학의 개념에 의거하여 내는 문제들이 더러 있다. 그러나 '개념'만 확실히 알면 된다. 즉 고등수학 내용을 처음부터 끝까지 공부하는 것이 아니라 개념을 정리하는 것만으로도 만점을 받는 데 지장이 없다. 그리고 수학 Ⅰ에서 배운 발상만으로 풀 수 있는 경우도 많다. 수포자가 많아서 A형은 1학년 내용이 섞인 문제 틀려도 최상위권 이외에 별 지장이 없다. 게다가 1학년 수학 공부하는 것은 방학 중 얇은 방학용 교재 한 권이면 덮어 쓴다. 너무 걱정하지 말자.

모의수능, 학력평가 등급컷을 보면 대체로 1등급이 60~70 선에서 결정난다. 2등급, 3등급 컷은 더 아래로 내려간다. 문과생들이 얼마나 수학 공부를 안하는지 보여주는 증거인데 대개 이런 현상은 고2 때까지 유지된다. 재수생이 본격 위협을 가하는 6월부터는 등급컷이 점점 올라가게 된다. 그래도 B형에 비하면 우습지만.

그래서 조금만 열심히 파도 등수가 확 오르는 경우가 있으니(모의고사 때는 망하다가도 수능 당일에 잭팟이 터져서 7등급이 나왔다는 얘기가 아니다 인생역전 하는 경우가 은근히 많다) 수학 포기하지 말고 열심히 할 것. 이게 다 상대평가 때문이다. 아예 수포자들은 점수가 안 나오기 때문
다른 과목은 성적 분포가 정규분포와 비슷한 종 모양을 이루는데 반해 이상하게도 유독 수리 '나'형은 종 부분이 하나 더 나타나는 현상이 관찰되었는데, 이러한 이봉 형태의 분포는 상이한 두 집단에서 데이터를 수집했을 때 나오는 것이다. 바로 일반 학생과 수포자.

또 일부 학교를 제외하고 인서울 하려면 문과도 수학에서 최소한 2, 3등급은 나와야 한다. 2011학년도 수능 수험생의 경우 응시자 수가 55만명이 넘기 때문에 적어도 2등급은 나와야 한다. 안전하게 중상위권 대학을 가려면 당연히 1등급이여야 되고 SKY는 백분위 99% 이상이 나오는 게 안전하다. 특히 2010 수능처럼 쉬울 경우 문과는 SKY나 서성한이 갈리는 이유가 탐구or제2외국어 때문이라는 말이 나올 정도였다. SKY나 서성한 상위과의 경우 언수외는 모두 111. 같은 학교 내의 학과 서열은? 내신.

수포자가 되면 특수한 경우(예술, 체육대 지망 혹은 수시)가 아니면 대부분 지잡대行이다. 수학을 반영 안하는 언외사 대학이나 4영역 중 3영역 반영 등의 여러가지 대학도 있긴 하지만 소수다.

그래도 문과는 국어 영어가 우선이라는 것을 잊지 말자. 상위권 대학과 상경계열을 제외하면 국어 영어의 반영 비율이 수학의 반영 비율에 비해 높다.그리고 상위권 대학이라 해도 사학과나 어문계열 등 수학이 필요없는 학과라면 수학이 국어 영어에 비해 약간 덜 반영된다. 하지만 서양선진국도 아닌 대한민국에서는 수학이 필요없는 학과로 들어갈려는 학생들도 인정사정 보지않고 수학을 많이 반영한다. 그러니 수학을 사용하지 않는 학과에 들어갈 생각이라도 또 그런직업쪽으로 꿈을 갖는다 하더라도 수학을 등한시하다간 피를 보니 안됐지만 수학공부 열심히 하길 바란다.

참고로 국어, 영어에 비해 수학을 훨씬 잘 봤을 경우, 교차지원을 통해 이과계로 빠져, 점수대에 비해 더 좋은 대학을 가 보겠다고 생각하는 사람이 있을 수도 있는데, 정말로 이공계로 가서 공부하고 싶은 게 아니면 포기하는 게 좋다. 대학은 들어가는 걸로 끝나는 게 아니다. 4년 이상 공부해야 한다. 애초에 자신이 하고 싶은 분야를 정해 지원하는 게 정석이므로, 교차지원은 어디까지나 자신이 배우고 싶은 분야를 정말 바꾸고 싶을 때 사용하는 거지, 대학의 등급을 바꾸기 위해 지원했다간 내년에 다시 수능보고 원서를 쓰는 수가 있다. 학과강의에 따라가지 못해서, 전공에 흥미를 잃어서. 문이과 교차지원은 문과와 이과의 경계를 뛰어넘을 만큼, 공부할 의지가 있는 사람들에게만 허용된 헬게이트라는 것을 잊지말자.

수학 A형은 개념을 통째로 외운 다음에 기출문제 많이 풀고 오답노트만 잘 정리하고 오답노트를 통째로 암기하는 방식을 통해 2등급까지는 상대적으로 쉽게 점수를 올릴 수 있다. 범위가 좁고 나오는 개념이 한정되어 있기 때문. 즉 어느 정도의 암기력 승부가 먹힌다. 특히 수능 직전에 당해 6, 9월 모의평가를 다시 한 번 검토하면서 문제에서 요구하는 발상들을 체득하고 따라가면 수능 당일날 체감상 풀이가 쉬워지는 것을 느낄 수 있다. 2014학년도 대수능의 경우, 무한등비급수 도형 활용에서 공비 구하는 원리는 6월의 아이디어가 수능에 그대로 채용되었고, 객관식 20번의 상용로그 문제의 경우 9월의 발상이었고, 마지막 30번 지수함수 그래프를 통해 조건에 맞는 정수 점의 개수를 추론하는 문제 역시 9월 모의평가 14번 문항과 비슷한 발상으로 푸는 방식이었다.

그러니 제발 바라건대 수포자가 되지 말자. 문과도 수학 잘 보는 게 무조건 유리하니까. 상위권 대학을 목표로 하면 더더욱! SKY를 노리는 문과 학생이라면 무조건 수학A형 원점수 100점을 목표로 해야한다. 수포자를 위한 대학은 없다.

3.3. 수학 B형(舊 수리 가형)

명실상부 이과의 상징과목

2007개정 교육과정 기준 수학 Ⅰ, 수학 Ⅱ, 기하와 벡터, 적분과 통계 에서 각각 1:1:1:1의 비율로 출제된다.

이과생들의 다수와 극소수의 문과생들이 응시한다. 그러나 수리영역 시절부터 수리 '가'형과 '나'형을 모두 받아주는 대학을 응시하는 이과생들은 수리 '나'형을 응시하는 경우가 매우 많다. '나'형이 양이 적고 쉽기도 하지만 '나'형 응시생 중에는 수포자들이 많아 난이도 대비 표점이 높기 때문에 '가'형 표점+가산점<'나' 형 표점 이러한 상황이 많이 발생했던 것이 주요 원인이다. 때문에 이과생 중에서도 절반 조금 넘는 사람들만 '가'형을 응시했다.

난이도가 엄청 높다. 개념 암기+응용+계산. 특히 평가원의 시험은 개념 부분이 엄청나다. 또 응용부분도 난이도가 높다. 고1과정이 섞인 문제도 심심하면 튀어나온다. 잘 본 사람은 꽤 있어도 쉽다는 사람은 정말 드물다. 6월에 난이도 대비 등급컷이 급상승하며 수능 때 또 상승한다. 괜히 이과 최종보스가 아니다. 올리는 게 불가능하진 않지만 정말로 많고 바른 방향을 잡은 노력이 필요하다. 적어도 과탐이나 영어보단 훨씬 노력해야 오른다.(국어는 어쩌면 수학 오를 노력보다 더해도 안 오를지도 모르지만) 그래도 어느 한 과목만 잘하는 것 중에선 이 과목에서 잘하는 게 가장 유리하다. 수시 모집에서 엄청난 장점이 있기 때문

말 안해도 이과 응시생 최종 보스. 이과의 의의. 이과의 절반. 그리고 수많은 이과생들이 문과로 전과하거나 A형을 응시하거나 하는 원인

하지만 적지 않은 이과생들이 B형을 포기하지 않는 이유는 가산점을 주는 우대 정책을 많은 대학들이 쓴다는 것 때문이다. 과거 서울산업대의 경우는 수리 '가' 형을 응시하면 무려 35%라는 가산점을 주기도 했다(즉 수리 '가'형 5등급이 수리 '나'형 2등급을 가뿐히 제낀다). 그리고 이공계열 최상위권 대학은 B형이 아니면 원서조차 받아주지 않기 때문에 싫어도 B형을 봐야 한다.사실 암만 그래도 A형 치고 자연대나 공대 가겠다는 건 좀...

수능에서 A형 선택자의 1/3이므로 문과보다 상대 %가 낮아도 같은 대학을 갈 수 있는 것이 장점이다. 물론 그 퍼센트가 A형 퍼센트와 1:1 비교할 수 없는 건 당연하다. B형 응시군은 시험 보면 알겠지만 국어 영어 탐구보다 실력이 엄청 높다! 1등급도 다른 과목 1등급과 비교를 불허한다.

언수외 시절에는 인문계열 학과를 지원하더라도 '가'형을 받아주는 대학들이 없지 않았고 서울대학교정시에서 가산점까지 준다(얼마나 가산하는지는 그때그때 다르다. 2012 정시에서는 8-10점). 그래서 서울대 하나만 바라보고 연고대에서 반수하는 학생들은 2012 수능에서 '가''형에 응시하기도 했다. 하지만 양민들이 할 짓은 못 된다. 다만 서강대학교 같이 인문계열 학과 지원 시에는 수리 '가'형을 받아주지도 않는 경우가 있고(지원도 안 된다.) 다른 대학도 가형 응시자 우대 따윈 없다. 따라서 서울대 말고는 생각도 안 하는 경우 말고는 별 메리트가 없다. 국어도 A/B형으로 나뉜 2014 대입부터는 국어 B형 요구 때문에 쉽게 찾기는 힘들지도

2010학년도 6월 모의평가의 24번문항, 2010학년도 9월 모의평가, 2011학년도 대학수학능력시험에서 특정한 함수에 대해 설명하고 그 함수에 특정한 값을 대입하여 나오는 값을 물어보는 문항이 자주 출제되고 있다.
또 그동안 수학 I에서 가/나형 공통으로 출제되던 킬러 문제가 기하와 벡터/적분과 통계/수학 II 등에서 B형 단독으로 출제되는 것으로 바뀌었다.

참고로 10,12학년도의 경우 수험생의 뒤통수를 때렸고,[15] 나머지는 모평과 비슷한 난이도로 출제

3.3.1. 역대 1등급 컷

연도 6모평 9모평 수능
2008 89 97 100[16]
2009 74 76 82
2010 71 76 88
2011 90 78 79
2012 96[17] 95 89
2013 96 85 92
2014 92 97[18] 92
2015 96 92 100[19]


4. 학습 방법

4.1. 수학 I

지수함수와 로그함수, 수열의 극한에서 응시자 간 점수 차이가 확 난다. 이 동네는 개념을 하나라도 잘못 잡으면 그대로 망했어요이다.

지수함수와 로그함수는 주로 그래프를 써먹는 부분이나 상용로그의 지표, 가수를 이용하는 문제에서 중-고난도로 출제될 수 있다. 난이도는 내기에 따라 가장 쉬운 2점부터 극악한 4점까지 천차만별로 낼 수 있는 파트이다. 참고로 여기에서 2012수능에 정답률 5% 짜리 문제가 출제됐던 적이 있다.

극한은 1학년 수학과 연계되어 문제가 나오기 때문. 맨날 나오는 것이 삼각함수, 이나 닮음 등인데 사실 수포자 빼고 고3 수준이라면 당연히 어떻게 구하는지, 특징이 뭔지 알고 있는 것들이다. 모른다면 정말 망했어요.[20]

지수함수와 로그함수와 더불어서 어려운 문제로 손꼽히는 행렬 ㄱㄴㄷ 문제가 자주 나온다. 반례만 찾는 문제라면 쉽겠지만 직접 증명해야 하는 문제이면 손 떼고 멍하니 있을 수도 있으니 조심. ㄱㄴㄷ대신 4점짜리 계산문제로 출제될 수도 있다.

수열단원의 개념을 고루 섞어서 내는 증명 완성형문제 역시 자주 등장한다. 복잡한 식의 증명과정을 빈칸을 뚫어 제시한 후 빈칸에 들어갈 식을 함수로 나타내어 특정 값을 구하는 유형이다. 이 유형의 문제는 대개 매우 복잡하고 긴 문제가 많으므로 제시된 식을 이해하려 하지 말고 이용하고 변형하는데 집중하여 문제를 해결해야한다.

그리고 연례행사로 나와주시는 도형+무한급수가 있다. 대부분 '초항 and 공비=답' 이지만 가끔씩 점화식 문제로도 나올 때가 있다. 이 문제는 길이가 길고 아름다운 경우가 많다. 문제를 다 읽으면 시간이 많이 낭비되니 적당히 규칙만 찾고 바로 정답을 구하자.(2012학년도 9월 모의수능 수리가형과 2015학년도 수능에서는 출제되지 않았다.) 다음 그림은 그 예.

이뭐병

4.2. 미적분과 통계 기본 / 적분과 통계

순열과 조합, 확률에서 응시자 간 점수 차이가 확 난다. 이 동네도 개념을 하나라도 잘못 잡으면 그대로 망했어요이다. 물론 개념을 잡아도 망했어요 찍는 경우가 대부분

순열과 조합은 일반적으로 가장 어려워하는 단원인데 그 해 나오는 문제의 난이도와 풀이방법은 엿장수 맘대로다. 쉬울 때는 정말 쉽고 어려울 때는 대비가 소용없다. 다른 단원 다 잘해도 이 단원만 못하는 학생들도 존재한다. 대체적으로 동의하는 해결법은 유형을 많이 접하고 자주 문제를 풀어보는 것.

통계는 거저 주는 문제들이 많다. 그러나 단원 끝 부분에 있기 때문에 여기까지 진도를 나가지 못하고 수능 공부를 치는 학생들도 굉장히 많다. 하지만 통계 문제들은 꼬아서 내는 문제가 거의 없고 그냥 개념을 확실하게 익히면 무조건 맞출 수 있는 문제이므로 필히 공부해야한다.

2010년 9월 모평의 경우 수리 가, 나 공통문제로 최악의 정답률을 기록한 문제가 확률 단원의 문제였다. 그냥 사건/확률이라 확률 단원이지 사실 경우의 수, 순열, 조합 쪽을 써야 하는데 너무 어려워서 문이과 모두 최악의 정답률을 보여줬다. 가형의 경우 특히나 다른 문제도 어렵게 나왔는데 이거마저 어려워서...

4.3. 수학 II

전체적 흐름을 가지고 있으며 종결점은 미분이다. 방정식과 부등식, 삼각함수, 함수의 극한들이 결국 모두 미분을 하기 위한 도구일 뿐이다. 따라서 수학 II에서 가장 중요한 파트는 미분이다.

1단원 방정식과 부등식 파트는 쉬엄쉬엄 학기초에 할만한 단원으로, 매우쉽기 때문에 학생들이 큰 어려움을 느끼지는 않는다. 이 단원에서는 무연근을 항상 염두해 두고 풀어야 하며 그것만 잘 해결할경우 다 맞춘다. 요즘은 방정식을 직접 주지 않고 그래프를 이용해서 문제를 내는데 이때도 역시 무연근만 조심하면 된다.

2단원 삼각함수 파트는 암기가 필요하다. 기본적인 덧셈정리, 2배각 공식, 반각공식등은 필히 외워야한다. 다만 곱을 합으로, 합을 곱으로 바꾸는 공식은 수능에서 쓸일이 없으므로 재수생이라면 패스해도된다.[21] 합을 곱으로 바꾸는 공식을 써야만 할 것 같은 문제도 전부 덧셈정리, 2배각, 반각공식으로 풀리게끔 출제된다.[22] 공부할때는 덧셈정리로부터 2배각, 반각공식을 유도하는 과정을 한번쯤은 적어보며 공부하면 훨씬 도움이 된다. 이 파트에서 단독적으로 어려운 문제가 나오는 경우는 드물고 3단원 함수의 극한과 연계하여 도형에서의 삼각함수 극한문제가 단골로 출제되고있다.

3단원 함수의 극한 파트는 기본적인 개념을 이해하고 문제를 풀면서 연습을 하는게 중요하다. 사실 이 개념이 이해하는데 큰 어려움은 없지만 막상 문제에서 적용하기 난감한 경우들이 많다. 이때는 다양한 문제를 풀어서 경험을 쌓으면 쉽게 해결된다. 단순 계산문제는 30문제만 풀어봐도 마스터 할 수 있다. 함수의 연속성 역시 중요하다. 이 문제는 실수를 하지 않는 것이 중요하다. 전술한 삼각함수와의 연계문제, 도형에서 Θ가 주어지고 S(Θ)의 극한값을 구하라 등의 패턴으로, 난이도가 높게 출제된다. 이러한 유형의 문제는 주어진 Θ를 이용해서 도형의 변, 호의길이, 각도등을 모조리 Θ로 표시한 뒤 문제를 해결해야 하지만 이 과정에서 중학도형, 고등수학에 해당하는 내용이 꽤 등장한다.

4단원 미분 파트. 처음에 극한을 통해 미분계수를 정의하는 것을 잘 익혀두어야 한다. 이 파트는 특히 학생들 사이에서 로피탈의 정리를 이용한 꼼수가 만연해 있는데, 잘못 쓰면 피보는 방법이다. 게다가 최근에는 교수님들이 로피탈의 정리가 먹히지 않도록 꼬아서 출제하는 경우가 빈번해졌다. 미분을 이용하여 함수의 그래프의 개형을 파악하는 문제가 자주 출제된다. 그래프의 개형을 파악하기 위해서는 우극한, 좌극한, 극소, 극대, 변곡점을 알아야 한다. 이 과정에 도함수, 이계도함수를 이용하여 문제를 해결한다. 방정식의 근의 개수를 도함수를 통해 판별하는 것, 시각에 따른 변화율에서는 변화율을 t로 나타내어 미분하고, 각도 Θ는 t로 나타내기 어려운 경우가 많으므로 cosΘ, sinΘ등으로 나타내어 풀면 된다.
최근에는 최대, 최소의 정리를 사용하여 극대, 극소일 때 함수의 미분값이 0이란걸 이용하거나, 곡선의 접선과 미분을 다양하게 활용하는 부분에서 고난도로 출제되므로 주의해야한다.

4.4. 기하와 벡터

이과 수학에서 1등급을 판가름내는 문제가 주로 출제되는 범위이다. 그만큼 내용들의 기본적인 난이도도 높고, 특히, 공간좌표와 정사영, 벡터 3가지가 합쳐지면 그야말로 손도 못대는 막강한 문제가 탄생해버린다.

난이도를 말하자면 1단원인 일차변환에서는 그야말로 행렬 복습하는 시간이다. 빨리 학습하고 넘어가자.

2단원인 이차곡선은 처음에는 마구 쏟아지는 공식에 모두들 ㅎㄷㄷ하지만 정의를 제대로 이해하고 공식 활용하는데 익숙해지면 별거없다. 하지만 정의를 정말 오묘하게 활용해야 하고, 기본적으로 계산이 더럽게 많기 때문에 짜증유발이 쉬운 단원이다.

3단원인 공간도형과 공간좌표부터는 난이도가 급상승하기 시작하는데, 좌표평면에서 좌표공간으로 개념을 확장하는 것이 생각보다 어려울 것이다. 그리고 무엇보다도 공간도형을 어떻게 다룰줄 몰라서 쩔쩔매는 일이 많다. 하지만 반드시 공간에 익숙해져야만 할 것이다. 그렇지 않으면 앞으로 나오는 정사영, 공간좌표, 벡터를 손도 못 댄다.

4단원은 그야말로 기벡의 정점을 찍는 벡터. 벡터의 기본적인 덧셈, 뺄셈, 실수배 등은 제대로 이해하면 금방 익힐 수 있지만, 문제는 내분/외분점의 위치벡터와 내적. 내분/외분점을 꼬아놓는 벡터문제는 수능에서는 잘 안나오는 유형이지만 그렇다고 안해 놓으면 벡터의 활용에 있어서 애를 먹게 되니 익혀두는게 좋다. 오히려 수능에선 내적 등을 이용한 최대/최소 문제가 더 잘 나오는 편. 그리고 마지막으로 나오는 직선과 평면의 방정식은 사실 공간좌표만 배운 상태에서는 표현하기가 매우 골때려서 벡터에 집어놓은 것이다. 벡터의 내적관련 문제에 비하면 쉬운 편이지만 구나 타원같은 다른 도형들과 연계하여 나오게 되면 진짜 골때리는 문제가 나올 수도 있으니 열심히 해두자.

4.5. 교과서의 중요성

많은 학생들이 수능 대비에 교과서는 필요없다고 생각한다. 그러나 교과서에 있는 문제를 조금 더 꼬아 내면 문제 중 가장 낮은 정답률을 기록하는 경우가 있다. 사실 이건 교과서의 중요성이라기보다는 기본적인 개념에 대한 완벽한 이해를 묻는 경우이다. 예를 들어 구분구적법에 관한 문제는 꾸준히 낮은 정답률을 기록하고 있다. 이는 학생이 정적분을 구하는데 있어, 구분구적보다 부정적분을 이용한 계산이 쉽기 때문에 부정적분을 집중적으로 공부하고 상대적으로 구분구적을 소홀히 하기 때문에 생기는 문제이다. 사실 구분구적에 관한 내용을 암기하지 않고 이해하여 체득하면 그리 어려운 문제도 아닌데 말이다. 이러한 측면에서 개념을 자세하고 쉽게 알려주는 교과서 참고가 권장될 뿐, 교과서 문제라고 아주 특이한 아이디어를 사용해서 만들지는 않는다. 따라서 자신이 3점문제를 모조리 틀리는, 한마디로 개념이 잡혀있지 않은 상태라면 교과서를 보며 기본적인 개념을 익히는 것이 필요하다.

2010학년도 6월 모의평가(2009년 6월에 치뤄짐)의 정답률 낮은 주관식 무리방정식(평가원에서 공개한 문서 기준으로 21번) 문제, 그해 9월 모의평가 역시 정답률 낮은 공간 좌표 문제(역시 평가원에서 공개한 문서 기준으로 23번)는 7차 교육과정 대한교과서 수2에 있는 문제이다. 공간 좌표 문제의 경우 각도를 추가해서 교과서 문제보다 까다롭지만...

4.6. 고등수학

간접출제범위에 포함된다. 예를 들어 삼각함수+(수열, 미적분, 지수) 등의 형태로 출제할 수 있다. 애초에 지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계라는 점도 있고. 그래서 일부 교사들과 일부 사교육 강사들은 고등수학을 따로 배워야만 한다고 강조하고 있으나 실상을 보면 딱히 고등수학의 개념을 정확히 몰라도 고교 2학년 때 배운 발상만으로 풀 수 있는 경우가 대부분이다. 대표적으로 09 수능 문제 21번 문항을 '가비의 리'를 알아야 풀 수 있다고 일부 선생들은 말하지만 시간을 좀 들여서 계산하면 그걸 몰라도 충분히 풀 수 있다. 즉, 고등수학 내용을 처음부터 끝까지 공부하는 것이 아니라 그냥 훑어보는 것만으로도 중상위권이 되는 데는 지장이 없다.

단, 호의 길이를 구하는 공식인 l=rθ를 알아야만 했던 경우, 외접원과 연계된 sin공식을 이해하고 있어야 했던 경우(09수능 가형 30번), 내접원이 나온 경우 반지름 구하는 법(09수능 가형 30번 외), 역함수 개념 이해(09수능 27번 외), 평행 개념 및 원주에 대한 중3 도형 이해(11수능 가형 22번) 등 특히 도형에서 매우 다양하게 중3~고1 개념이 출제되고 있으므로 만점을 목표로 한다면 중학교 수학에서 고등학교 1학년까지 배우는 개념에 대해 정리해두어야 한다. 물론 출제 빈도는 기껏해야 한 해당 한 문제 나오거나 말거나 한 정도다. 11학년도 수리 가형처럼 만점이 35명밖에 안 나오는 흉악한 난이도의 시험에서는 만점 포기하고 아는 거라도 다 맞추는 게 낫다(만점이 35명이면 이과의 최정점인 서울대학교 의예과 합격자 중에도 만점은 소수라는 이야기이다). 이 경우에조차도 수능을 만점 맞아야겠다고 고등수학 내용을 처음부터 끝까지 공부한답시고 고등학교 1학년 문제집 붙잡고 푸는 건 완전한 삽질이다. 고1때 평균 수준의 수학 성적을 받았다면 고등수학 복습은 따로 참고서 사거나 인강을 수강할 필요조차 없이 300일이 넘는 수험 기간 중에 하루만 날 잡고 교과서 읽어나가면서 하면 된다. 제대로 가르치는 교사/강사의 강의를 수강한다면 그것조차도 필요없이 그냥 자기 수업 때마다 필요한 개념 체크해두면 된다. 평균 이하의 수포자였으니 참고서를 사서 봐야 한다고? 그렇게 산 1학년 문제집 풀어제끼느라 허비하는 시간은 다시 돌아오지 않는다. 차라리 그렇게 고1 문제집 살 돈 만원으로 짜장면을 사먹어라! 아무리 자기가 수포자라고 해도 길게 잡아봤자 교과서와 익힘책으로만 열흘이면 된다. 그리고 6월 모평 이후에는 이렇게 날 잡고 하는 간단한 복습조차 시간낭비일 수 있으므로 그냥 문제 풀고 질문해가면서 자기가 몰랐지만 꼭 필요한 것만 정리하면 된다. 그 꼭 필요한 개념들을 다 정리한다고 해도 A₄용지 앞뒤로 1장이면 충분하다.

4.7. 합답형 문제 찍기 비법

보통 1~5번의 선지 중 하나가 5개, 나머지는 4개가 나온다. ㄱㄴㄷ합답형의 경우 보기 중에 ㄱ이 총 2개 이하일 경우 ㄱ은 틀리고 3개 이상이면 ㄱ이 맞다. 그 이유는 평가원이 ㄱ,ㄴ,ㄷ을 모두 풀어보게 하려고 하는 것으로 추정된다. 이것 중 가장 대표적이면서 최근 예평, 모평이나 수능에 많이 나오는 선지를 정리하면 다음과 같다(볼드체가 정답일 확률이 90%이상이다.). 하지만 예외가 있을 수 있으므로 문제가 안 풀릴때 최후의 수단으로만 사용하자. 그리고 탐구영역의 경우 이 방법은 절대 쓰지 말고 그냥 풀어라. 안 통하는 것도 많다!!! 왜냐하면 수학과 달리 탐구의 <보기> 1개는 진위를 판단하는데 시간이 오래 걸리지 않기 때문에 하나쯤 버리는 것으로 취급해도 크게 상관없기 때문. 바꿔 말하면 푸는데 오래 걸리는 문제일수록 이 법칙이 맞을 확률이 크다.

ㄱ/ㄷ/ㄱ,ㄴ/ㄴ,ㄷ/ㄱ,ㄴ,ㄷ
ㄴ/ㄷ/ㄱ,ㄴ/ㄱ,ㄷ/ㄱ,ㄴ,ㄷ(최근 B형 수능기준으로 2년동안 3문제가 모두 이 보기로 출제되었다)
/ㄴ/ㄱ,ㄷ/ㄴ,ㄷ/ㄱ,ㄴ,ㄷ(예외가 있었다.)
/ㄴ/ㄱ,ㄴ/ㄱ,ㄷ/ㄱ,ㄴ,ㄷ
ㄱ//ㄷ/ㄱ,ㄴ/ㄴ,ㄷ
/ㄱ,ㄴ/ㄱ,ㄷ/ㄴ,ㄷ/ㄱ,ㄴ,ㄷ

4.8. 주관식 찍기 비법

일단 답이 3 이하이거나 지나치게 높은(900 이상) 경우에는 의심하자. 참고로 답이 2인 경우는 나온 적이 있다.(05수능 가형 18번과 13년도 9월 모평 나형 22번) 대부분의 최소 답은 보통 4부터이며 최대답은 예상하기 힘들지만 적어도 999 같은 건 거의 나오지 않는다. 일반적으로 두자리 수가 잘 나오며 특히 10~19 정도 구간의 답은 거의 매 시험마다 2~3개씩은 나온다. 답이 1 또는 0인 경우나 문항 번호가 정답인 사례는 아직 없었다.

분수가 나올 경우도 있는데 이 경우에는 a/b(a,b는 서로소) 꼴에서 a+b나 a²+b²의 값을 구하라고 한다. a²+b²값을 구하라는 경우는 분수가 간단한 경우가 많다. 예를 들어 1/4(17),1/8(65), 2/3(13), 4/5(41) 등등... 단 1/2(5)는 숫자가 너무 작아서인지 잘 안나온다. a+b를 구하라는 경우는 경우는 별 다른 비결이 없다. 그냥 잘 풀어서 맞추자.

나온 최종 답에 특정 자연수를 곱하라는 경우도 있다. 곱하는 수는 보통 계산하기 쉽게 10, 100이나 30, 60 등 약수가 많은 숫자를 준다. 이런 경우에는 위의 a²+b²를 묻는 문제처럼 실제 답은 간단한 경우가 많다. 그리고 대부분의 답이 곱하는 수의 약수이다. 특히 극한 문제에서는 1/2이 많이 나오니까 참고하자.

그러나 평가원도 이 비결을 알고 있는지 이를 이용한 학생을 틀리게 하는 문제를 종종 내고 있다. 예를 들어 2012학년도 수리 가형 30번은 최종 답에 100을 곱하라는 문제였는데 답이 32였다.

그리고 OMR 카드에 허둥지둥 마킹을 하면서 두자릿수 한자릿수 답을 마킹할 때 백의 자리 숫자에 칠하는 병크를 저지르진 말자. 이런 실수는 1학년 때 처음 치르는 학력평가에서나 종종 목격되는데 그런 실수를 3학년 되어서까지 하는 바보가 있을...까? 일단 찾아보면 있다

4.9. 비범한 찍기 사례


이 영상은 2011 수능 치뤄지기 며칠 전에 나왔는데 수리 가형 주관식으로 나온 문제들 중 답이 안 나온다던 17, 19 아니면 나온다고 한 14, 나온다고 예견한 19까지 나왔다.

2012수능의 경우 디씨에서 '10 12 20 찍어' 하는 댓글이 달렸는데 그런데 그것이 실제로 일어났습니다. 정말로 10 12 20이 나와서 화제가 되었다.

14학년도 A형 29번,30번 답이 12,15였는데 김준수(JYJ)팬이 이걸 찍어서 맞췄다. 그 이유는? 그의 생일이였다. 팬심이 킬러 문제의 정답까지 이끌어 준 놀라운 사례[23]

2013년도 가형 30번 문제의 정답은 573, 2014년도 B형 30번 문제의 정답은 72(...)였다. 이를 토대로 2015년도 B형 30번 문제의 정답은 39일 거란 예상이 있었고, 맞았다. 매년 출제자 중에 오덕이 있는 것이 분명하다

하지만 가장 중요한 건 영상에서도 강조했듯이 저런 거 믿을 바에야 자기가 공부해서 맞추는 것이다.

5. 강사들의 스펙트럼

인터넷 강의를 비롯한 대입 사교육 시장에서 영어나 수학을 가르치는 이들은 해당 분야의 전공자도 있지만 다른 과목을 전공한 이들도 상당히 많다.[24] 영어는 그래도 영어 외의 다른 서양어를 전공한 이들이 많지만 수학은 수학과사범대학 수학교육과를 나온 사람들 외에 공과대학, 자연과학대학을 나온 전공자들이 굉장히 많다. 고교수학 사교육 시장에서 일컬어지는 1타 강사 중엔 삽자루, 한석원이 대표적인 공학 전공자고, 수학 참고서를 집필하는 대학생들 역시 수학 외의 이과 학문을 전공하는 경우가 많다. 수학 비전공자에게도 높은 수준의 수학을 기본기로 요구하는 이공계열 전공의 특성상 고교수학을 가르치는 데에 학부 1,2학년 이상의 수학적 지식을 요구하지는 않는 점과 고교수학이 대학수학의 깊이있는 접근에 비하면 사칙연산(...)급의 수준이라는 점, 영어를 제외하면 사교육 시장이 가장 활발하게 돌아가는 과목이라는 점이 맞물려서인 듯.
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  • [1] 시험 시간이 100분으로 가장 길고, 수능에서 유일하게 주관식이 있는 영역이 바로 수학이다.
  • [2] 舊 수리 나형
  • [3] 舊 수리 가형
  • [4] 舊 수리 영역에선 15문제로 상당히 축소되었다. 14수능 기준.
  • [5] 역삼각함수와 푸리에급수를 이용한 적분, 유클리드 기하, 복소평면, 미분방정식등에서 차이가 난다
  • [6] 행렬의 고윳값과 대각화, 기초 정수론등
  • [7] 한국과 범위가 거의 동일
  • [8] 좌표, 초 군론, 소평면, 테일러급수, 미분방정식, 중곱, 설검정, 률생성함수
  • [9] 대신 복소평면과 역삼각함수를 다루긴 하지만
  • [10] 난이도가 저러니 고등학교 졸업반의 이과수학 선택률이 30%밖에 안되고, 상당수의 학교에서 고등학교 1학년때 삼각함수의 미적분을 이미 떼고 왔다고 가정하고 가르치는 등 중학교때부터 수학포기자를 대량 양산시켰으며, 수학과가 아닌 공과대학 지망생도 치뤄야 하는 시험인데도 불구하고 지나치게 증명위주의 시험이었다. 참고로 수준을 고려했을때 30%면 아주 높은 수준인데, 수학보다 문과 과목들의 난이도가 더 높기 때문에 이런 결과가(...)
  • [11] 이전에는 객관식 사이에 주관식 문제가 들어가기도 했다.
  • [12] 3점은 14문제(일반적으로 4~13,22~25번), 4점은 13문제 정도(일반적으로 14~21,26~30번).
  • [13] 사족으로 수능 수리 영역에서는 98점 맞는 사례가 100점 맞는 사례보다 더 희귀(?)하다. 또는 97점은 있어도 98점은 없다거나...상식적으로 뒤의 그 어려운 문제 다 맞아놓고 앞의 사칙연산 수준의 문제를 틀릴 리가 없기 때문이지만 그래도 꼭 실수하는 사람이 나오는 모양인지 매 수능때마다 2~30명은 나온다(...)
  • [14] 각각 15문제
  • [15] 특히 12학년도는 언수외 모두 난이도가 완전히 바뀌었다.작년보다 쉽지만
  • [16] 응시자 대다수를 차지하는 미분과 적분 선택자 기준. 나머지 과목 선택자는 98.
  • [17] 만점자가 3.34%, 1등급이 무려 8%
  • [18] 96점을 제대로 엿먹였다. 만점자가 무려 3.76%
  • [19] 만점자가 무려 4.30%
  • [20] 하지만 이과생이라면 이쪽 극한이 문제가 아니라 수학2에 있는 도형+초월함수+극한이 문제다. 여기서는 진짜로 극한의 문제를 볼 수 있다.
  • [21] 필자가 아닌 유명 강사 삽자루가 공인한 내용으로 출제될경우 은퇴하겠다고 함.
  • [22] 사설 모의고사는 해당되지 않는다.
  • [23] 호적상은 87년 1월 1일이라고 알려져있다.
  • [24] 국어 강사는 국문과/국교과 출신이 아닌 경우가 굉장히 드물고 사탐 역시 스펙트럼이 넓어서 전공자의 기준이 널널하긴 하지만 전혀 다른 전공으로 대학을 다니고 사탐을 가르치는 경우는 드물다. 과탐이야 사범대학 과학교육 또는 자연과학 전공자가 아니면 전부 공학 전공자들이다.