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골드바흐의 추측

last modified: 2015-04-14 07:50:41 Contributors

Goldbach's conjecture

골드바흐의 추측:
2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
골드바흐의 약한 추측:
5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

전자가 참이라면 후자도 참이다. 5보다 큰 홀수는 2보다 큰 짝수와 3의 합이기 때문. 따라서 '약한' 추측이라 불린다.

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 5 + 5, 3 + 7
12 = 5 + 7
14 = 7 + 7
16 = 5 + 11, 3 + 13
18 = 7 + 11, 5 + 13
20 = 7 + 13, 3 + 17
...

말 그대로 아직 증명은 되지 않았으나 사실일 것으로 추측되는 명제이자 희대의 떡밥.
페르마의 대정리, 4색 지도(혹은 4색정리), 리만 가설 등과 더불어 수학계 최대의 난제[1]이자 수학계의 최종보스.

쌍둥이 소수 추측(Twin prime conjecture)과 정수론적인 구조상 관련이 있으나 같은 문제는 아니다.

당시 별로 유명하지 않았던 독일의 수학자 크리스티안 골드바흐는 위와 같은 자신의 생각을 당시 주가가 한창 높던 친구 수학자 레온하르트 오일러에게 편지를 보내게 된다. 그리고 이 때부터 본격적으로 250년에 걸친 미친 듯한 낚시가 시작된다.

'2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다'는 상당히 간단한 추측이기 때문에 IBM에서 컴퓨터로 직접 무작정 대입을 해본 사례도 있다. 무려 4부터 400경까지 대입을 해 보았고 모두 다 성립하였으므로, 적어도 현실에서 쓸만한 단위 내에서는 사실로 성립하긴 한다. 문제는 이 방법은 대입으로 나온 일정 수까지의 연산 결과일 뿐이며, 수학적인 증명법은 아니다. 이걸 증명하려면 '이건 이러이러해서 이렇다!'라는 것을 설명할 수 있어야 하지만, 저건 그런거 없이 단순히 결과만 나온 것일 뿐. 사실 소수의 생성방법도 완벽히 밝혀지지 않은 상태이니 어찌 보면 당연한 현실이기도 하다.[2]

초등학교 6학년도 이해할 수 있는 간단한 내용이지만 이상하게도 증명법이 나오지 않아 이를 대중화시켜 증명시키겠다는 목적에서 "골드바흐의 추측"이라는 책도 발간되었고, 출판사는 100만달러의 떡밥을 내걸었으나 아직까지 증명법이 나오지 않고 있으며 물릴 듯 하면서도 안 물릴 듯한 떡밥에 미쳐 인생을 망치는 수학자들도 꽤나 된다.[3]

그래도 충분히 풀 만한 가치는 있다. 이거 푸는 수학자는 부와 명예를 모두 얻을 수 있음은 물론, 진정 수학의 역사에 이름을 남기게 될 것이므로. 정수론에서는 그 정도로 엄청난 떡밥이다.

그리고 다른 포털사이트에 검색을 해보면 초등학생이나 중학생이 증명을 했다고 지식인에 올리고는 하는데, 당연히 오류 투성이다. 애초에 이 문제는 어릴적 부터 천재 소리 들어 오던 수학자가 풀어도 못 풀고 있는 문제니 실망은 말자.

1930년대에 비노그라도프(Vinogradov)는 적절히[4] 홀수는 3개의 홀수 소수의 합으로 표현가능함을 증명하였다. 비노그라도브의 결과에 대해 2012년 5월에는 테렌스 타오(Terence Tao)가 모든 홀수가 많아도 5개 이내의 소수로 표현가능하다는 것을 증명하였고, [5] 2013년 5월에는 엘프고트(H. A. Helfgott)란 수학자가 비노그라도프의 정리가 10의 30승 이상의 수에서 성립한다는 것을 증명해서 비노그라프의 정리가 '적절히'에서 '모든'[6]으로 바뀌어 약한 추측이 증명되었다. [7]
한편 1973년에 중국의 수학자 징룬은 모든 2보다 큰 짝수가 소수와 거의 소수인 수(두 소수의 곱)의 합으로 표현가능함을 증명하였다. 그리고 2014년에는 폴리매스 프로젝트 8[8]을 통해 일반화된 앨리엇-핼버스탬 추측이 참이면 쌍둥이 소수 추측 혹은 오차가 포함된 골드바흐 추측[9] 중 적어도 하나는 참이라는 것을 증명하였다.

여담으로 미스터리 영화 '페르마의 밀실'의 주요 소재는 '골드바흐의 추측을 증명하는 것'이다. 페르마라 쓰고 골드바흐라 읽기

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  • [1] 페르마의 대정리와 4색지도 문제는 증명되었다.
  • [2] 가장 단순한 에라토스테네스의 체(중학교 1학년 수학에 나온다)부터 컴퓨터가 필요한 방법까지 여러 가지가 나왔지만, 모든 소수를 빠짐없이 생성할 수 있는 방법(perfect generator)은 아직 밝혀지지 않았다. 이건 사실 골드바흐의 추측보다 더 큰 떡밥. 리만 가설도 이것과 연관되어 있다.
  • [3] 앞에서 나온 '골드바흐의 추측'이라는 책이 바로 이 문제로 인생을 조진 수학자를 조명하는 조카의 1인칭 소설이다. 덧붙여, 100만달러의 상금은 출판일로부터 1년 이내에 증명해낼 경우에 지급되는 상금이었는데, 한국에 출판될 때는 이미 유효기간이 지났는데도 모르고 진지하게 상금을 노리고 구입한 독자들도 많았다. 물론, 유효기간이 10년이었다고 하더라도 증명이 가능하진 않았을 것이다. 하긴 증명이 가능하다면 100만달러따위가 문제가 아니다.
  • [4] 3의 {3의 15승} 승 이상
  • [5] 출처:(영문)http://www.nature.com/news/mathematicians-come-closer-to-solving-goldbach-s-weak-conjecture-1.10636
  • [6] 10의 30승까지의 수는 컴퓨터를 이용한 노가다 증명이 존재한다.
  • [7] 출처:(영문)http://arxiv.org/abs/1305.2897
  • [8] 수학자들의 공동연구 프로젝트. 프로젝트 8의 목표는 Yitang Zhang이 발표한 오차가 포함된 쌍둥이 소수 추측의 증명에서 오차를 최대한 작게 줄이는 것이었다. 그리고 이를 위해 테렌스 타오를 중심으로 한 현대정수론의 대가들이 총출동했다. (!!!)
  • [9] 적당한 상수 H가 존재해서 모든 자연수 N에 대해 N과 N+H 사이의 자연수 중에는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있는 수가 적어도 하나 존재한다. 만약 오차 H를 2보다 작은 수로 줄이면 골드바흐 추측과 완전히 같아진다.